doc.22

アフィン変換†

アフィン変換とはBGやスプライトに使われている機能です。画像全体を回転させたり、引き延ばしたような表示をしたり、複雑な動きを行います。この解説はToncのThe Affine Transformation Matrixをベースに超絶薄くした内容をお送りします（汗。数学の素養を身に着けたい場合はGoogleで検索するとウェブサイトがでてきますのでそちらをご覧ください。

アフィン変換とは†

一言でいうと移動、回転、拡大縮小、せん断を同時に行える機能のことです。この変換がすごいのはたった６つのパラメータを決定するだけで実現できるということです。もちろん回転だけしたい、移動だけしたい場合も可能です。もう少し具体的にいうと画面x=120, y=80に移動して、回転を30度にして、キャラを2倍に拡大して、せん断（詳細は後述）する、というチャンポンができます。

表を見ると、いきなり数式が出てきましたね。私は数学アレルギーなので気持ちはよくわかります。まあ難しい話を避けて通るので概要だけ掴んでいって頂ければ幸いです。最悪、ライブラリ化して引数に投げる数字だけを着目するのも全然ありだと思っています。とりあえず、スプライトの機能を使って６つのパラメータがどのような役割を持っているか見ていきましょう。

平行移動（Identity）†

平行移動です。画像64×64を始点0,0から120,80に移動する。この実現には２つのパラメータを使います。OBJ Attribute（OAM）0と1です。

typedef struct {
	u16 attr0;
	u16 attr1;
	u16 attr2;
	u16 dummy;
} OBJATTR;

• OBJ Attribute 0 (R/W)

    Bit   Expl.
    0-7   Y-Coordinate           (0-255)

• OBJ Attribute 1 (R/W)

    Bit   Expl.
    0-8   X-Coordinate           (0-511)

回転（Rotation）†

上記図のように、回転はOAMのPA, PB, PC, PDにcos(θ)、−sin(θ)、sin(θ)、cos(θ)をえいや！っと投げ入れます。パラメータは４つ。PA〜PDはチュートリアルで説明した部分です。

typedef struct {
	u16 dummy0[3];
	s16 pa;
	u16 dummy1[3];
	s16 pb;
	u16 dummy2[3];
	s16 pc;
	u16 dummy3[3];
	s16 pd;
} OBJAFFINE;

OBJAFFINE* rot = (OBJAFFINE*)OAM + num;

rot->pa =  GetCos(angle);
rot->pb =  GetSin(angle);
rot->pc = -GetSin(angle);
rot->pd =  GetCos(angle);

Scaling（拡大縮小）†

OAMの縦の変化率がPAとPB、横の変化率がPCとPDです。かける値は倍率の逆数となります。こちらもチュートリアルで説明した部分です。

OBJAFFINE* rot = (OBJAFFINE*)OAM + num;

rot->pa = Div(256 * 100, xsc);
rot->pb = 0;
rot->pc = 0;
rot->pd = Div(256 * 100, ysc);

Shear（せん断）†

画像を平行四辺形に変化させることを言い、上記図のように擦りつぶれ気味な表示になります。pb, pcに対して値を入れると変化します。

OBJAFFINE* rot = (OBJAFFINE*)OAM + num;

rot->pa = 256;
rot->pb = x方向の増減;
rot->pc = y方向の増減;
rot->pd = 256;

6つのパラメータ†

最初に説明した6つのパラメータとはOBJ Attribute0,1のx,y、あとはpa, pb, pc, pdです。数学でいう行列の掛け算を行いチャンポンします。

OBJ0x:そのまま使う
OBJ1y:そのまま使う
pa = pa回転、pa拡大縮小、paせん断の合算
pb = pb回転、pb拡大縮小、pbせん断の合算
pc = pc回転、pc拡大縮小、pcせん断の合算
pd = pd回転、pd拡大縮小、pdせん断の合算

pa, pb, pc, pd†

ところでpa～pdは16bit単位です。中身の整数部分と分数部分に着目してください。

 Bit   Expl.
 0-7   Fractional portion (8 bits)
 8-14  Integer portion    (7 bits)
 15    Sign               (1 bit)

今までpa = 256などの訳のわからない数値は、16進数でいう0x0100であり整数部分の1を表していました。分数部分が8bitsであることはsin, cos関数などの標準関数が使えません。つまりBIOSを使うか自作しないといけません。以下に、512個の16bit sinテーブルの生成コードを表します。整数部4bits, 分数部分12bitsとなります。私は数学者ではありませんのでこのテーブルの妥当性がわかりませんけれど、いい感じに計算してくれてると信じて使わせていただいています（＾＾；。

// Example sine lut generator

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define M_PI_ 3.1415926535f
#define SIN_SIZE 512
#define SIN_FP 12

int main()
{
	FILE *fp= fopen("sinlut.c", "w");

	fprintf(fp, "//\n// Sine lut; %d entries, LUT of 16bit values in 4.%d format.\n//\n\n", SIN_SIZE, SIN_FP);
	fprintf(fp, "const short sin_lut[%d] = \n{", SIN_SIZE);

	unsigned short hw;
	int i;

	for(i=0; i<SIN_SIZE; i++)
	{
		hw = (unsigned short)(sin(i * 2 * M_PI_ / SIN_SIZE) * (1 << SIN_FP));

		if(i % 8 == 0)
		{
			fputs("\n\t", fp);
		}

		// 2023/05/09 fixed. i==128 is cos(0). hw:0xffff -> 0x1000.
		if(i == 128)
		{
			hw = 0x1000;
		}
		if(i == 384)
		{
			hw = 0xF000;
		}

		fprintf(fp, "0x%04X, ", hw);
	}
	fputs("\n};\n", fp);

	fclose(fp);

	return 0;
}

スプライト表示†

操作は説明書を書かなければいけないほど膨大です。各ボタンを一通りお試しください。

• main.c

  #include "lib/gba.h"
  #include "irq.arm.h"
  #include "bg.h"
  #include "key.h"
  #include "spr.h"
  #include "math.h"
  
  //---------------------------------------------------------------------------
  int main(void)
  {
  	REG_WSCNT = 0x4317;
  
  	IrqInit();
  	KeyInit();
  	BgInit();
  	SprInit();
  
  
  	s32 x  = 240/2 - 64/2;
  	s32 y  = 160/2 - 64/2;
  
  	s32 pa = 0x0100;
  	s32 pb = 0x0000;
  	s32 pc = 0x0000;
  	s32 pd = 0x0100;
  	s32 ta = pa;
  	s32 tb = pb;
  	s32 tc = pc;
  	s32 td = pd;
  
  	s32 angle = 0;
  	bool isDouble = FALSE;
  
  	// metro
  	SprSetSize(0, OBJ_SIZE(3), OBJ_SQUARE, OBJ_16_COLOR);
  	SprSetChr (0, 0);
  	SprSetPal (0, 0);
  	SprSetRotScale(0, 0, TRUE);
  
  	// Shadow
  	SprSetSize(1, OBJ_SIZE(3), OBJ_SQUARE, OBJ_16_COLOR);
  	SprSetChr (1, 0);
  	SprSetPal (1, 1);
  	SprSetScaleRot(1, 0x0100, 0, 0, 0x0100);
  	SprSetRotScale(1, 1, TRUE);
  
  	for(;;)
  	{
  		VBlankIntrWait();
  
  
  		s32 ss = MathSin(angle);
  		s32 cc = MathCos(angle);
  		s32 sa =  cc;
  		s32 sb = -ss;
  		s32 sc =  ss;
  		s32 sd =  cc;
  
  		pa = (ta*sa + tb*sc) >> 8;
  		pb = (ta*sb + tb*sd) >> 8;
  		pc = (tc*sa + td*sc) >> 8;
  		pd = (tc*sb + td*sd) >> 8;
  
  		SprSetScaleRot(0, pa, pb, pc, pd);
  		SprSetXy(0, x, y);
  		SprSetXy(1, x, y);
  		SprSetDubleFlag(0, 0, isDouble);
  		SprSetDubleFlag(1, 1, isDouble);
  
  		BgAsciiDrawPrintf(1, 17, "P=|%4X %4X|", pa, pb);
  		BgAsciiDrawPrintf(1, 18, "  |%4X %4X|", pc, pd);
  
  
  
  		KeyExec();
  		u16 cnt = KeyGetCnt();
  		u16 trg = KeyGetTrg();
  
  		// START+SELECT: Reset
  		if((trg & KEY_START) && (trg & KEY_SELECT))
  		{
  			x  = 240/2 - 64/2;
  			y  = 160/2 - 64/2;
  
  			pa = 0x0100;
  			pb = 0x0000;
  			pc = 0x0000;
  			pd = 0x0100;
  			ta = pa;
  			tb = pb;
  			tc = pc;
  			td = pd;
  
  			angle = 0;
  			isDouble = FALSE;
  			continue;
  		}
  
  		// START: Double-size flag
  		if(trg & KEY_START)
  		{
  			if(isDouble == FALSE)
  			{
  				x -= 64/2;
  				y -= 64/2;
  				isDouble = TRUE;
  			}
  			else
  			{
  				x += 64/2;
  				y += 64/2;
  				isDouble = FALSE;
  			}
  			continue;
  		}
  
  		// UP, DOWN, LEFT, RIGHT+SELECT: Move
  		if((cnt & KEY_UP)    && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			y--;
  			continue;
  		}
  
  		if((cnt & KEY_DOWN)  && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			y++;
  			continue;
  		}
  
  		if((cnt & KEY_LEFT)  && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			x--;
  			continue;
  		}
  
  		if((cnt & KEY_RIGHT) && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			x++;
  			continue;
  		}
  
  		// A+SELECT: Scales x down
  		if((cnt & KEY_A) && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			ta += 4;
  			continue;
  		}
  		// A: Scales x up
  		if(cnt & KEY_A)
  		{
  			ta -= 4;
  			continue;
  		}
  
  		// B+SELECT: Scales y down
  		if((cnt & KEY_B) && (cnt & KEY_SELECT))
  		{
  			td += 4;
  			continue;
  		}
  		// A: Scales x up
  		if(cnt & KEY_B)
  		{
  			td -= 4;
  			continue;
  		}
  
  
  		// LEFT: Shear x down
  		if(cnt & KEY_LEFT)
  		{
  			tb -= 4;
  			continue;
  		}
  
  		// RIGHT: Shear x up
  		if(cnt & KEY_RIGHT)
  		{
  			tb += 4;
  			continue;
  		}
  
  		// DOWN: Shear y down
  		if(cnt & KEY_DOWN)
  		{
  			tc -= 4;
  			continue;
  		}
  
  		// UP: Shear y up
  		if(cnt & KEY_UP)
  		{
  			tc += 4;
  			continue;
  		}
  
  		// L: Rotates left
  		if(cnt & KEY_L)
  		{
  			angle += 128;
  			continue;
  		}
  
  		// R Rotates right
  		if(cnt & KEY_R)
  		{
  			angle -= 128;
  			continue;
  		}
  	}
  }

x,yについてはSprSetXy関数を使います。これはわかりやすいですね。一方のpa,pb,pc,pdについては複雑です。

s32 ss = MathSin(angle);
s32 cc = MathCos(angle);
s32 sa =  cc;
s32 sb = -ss;
s32 sc =  ss;
s32 sd =  cc;

pa = (ta*sa + tb*sc) >> 8;
pb = (ta*sb + tb*sd) >> 8;
pc = (tc*sa + td*sc) >> 8;
pd = (tc*sb + td*sd) >> 8;

SprSetScaleRot(0, pa, pb, pc, pd);

行列を計算すると以下になります。回転、拡大縮小、せん断のチャンポンの完成です。

出典元†

• Tonc

履歴†

• 2023/05/10

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